metodos numericos

Interpolacion de Newton Se basa en la obtención de un polinomio a partir de un conjunto de puntos dado, aproximándose lo mas posible a la curva buscada.  La ecuación general para la obtención de la función por este método es: Donde las “bi” se obtienen mediante la aplicación de una serie de funciones incluidas en una tabla de diferencias.    Interpolación segmentada  Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.  Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.  Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. P

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Se desarrollarán fórmulas para aproximaciones de diferencias hacia delante, hacia atrás y centradas para la primera derivada utilizando la serie truncada de  Taylor . En el mejor de los casos, estas estimaciones presentan errores de orden  O ( h 2 ) ; es decir, sus errores fueron proporcionales al cuadrado de su tamaño de paso. Este nivel de exactitud se debe al número de términos de la serie de  Taylor . Diferencias Divididas Finitas, 1ª derivada: Definiendo un tamaño de paso  h = x i+1  – x i - Hacia delante: - Hacia atrás: - Central: Diferenciación de fórmulas de alta exactitud: Se pueden generar fórmulas de alta exactitud al incluir términos adicionales en la expansión de la serie de  Taylor . Teniendo en cuenta el término de la segunda derivada:   Despejando para la primera derivada:   De la expansión de  Taylor   hacia delante para  f ( x i+2 )  en términos de  f ( x i ) :   Despejando para  f’’ ( x i ) : Agru

Método de bisección (Bolzano) El método de bisección es uno de los más versátiles para determinar una raíz real en un intervalo de una ecuación dada, es fácil de comprender, aunque si se desea una mayor exactitud el número de cálculos que hay que realizar aumenta considerablemente. Una de sus ventajas es que funciona para ecuaciones algebraicas y trascendentes, pero se recomienda utilizarlo después de un análisis gráfico. El Teorema de Bolzano establece las condiciones necesarias para la existencia de al menos un cero de una función continua. Teorema de Bolzano Si  f ( x )  es continua en el intervalo  [ a , b ] , con  f ( a ) ∙ f ( b ) < 0 , entonces existe al menos un  c ∈ ] a , b [  tal que  f ( c ) = 0 El método de bisección se basa en el Teorema de Bolzano, el cual afirma que si se tiene una función real  y = f ( x )  continua en el intervalo  ] a , b [  donde el signo de la función en el extremo  a  es distinto al signo de la función en el extremo  b  del intervalo