unidad 6

Métodos de un paso

Los métodos de un paso tienen por objetivo obtener una aproximación de la solución de un problema bien planteado de valor inicial en cada punto de la malla, basándose en el resultado obtenido para el punto anterior.

Se desarrollan aquí los métodos Taylor (incluyendo Euler), y de Runge Kutta. Para ver el detalle de cada uno de los métodos, hacer click en cada uno de los siguientes vínculos. Para volver a esta página, hacer click en la solapa "métodos de un paso".

Consistencia, estabilidad y convergencia

Hay algunas propiedades importantes de las ecuaciones en diferencias para problemas de valor inicial de EDOs de primer orden que deben considerarse antes de que se pongan en práctica los métodos numéricos. Ellas son consistencia, estabilidad y convergencia.

Métodos de pasos múltiples

Se considera el problema de valores iniciales (P.V.I.) 8<: y0(x) = f(x; y(x)); x 2 [a; b]; y(a) = y0 dado, el que supondremos tiene solución única, y : [a; b]

Dada una partición del intervalo [a; b]: a = x0 < x1 <    < xN = b; los métodos que hemos visto hasta aquí sólo usan la información del valor yi de la solución calculada en xi para obtener yi+1. Por eso se denominan métodos de paso simple.

Parece razonable pensar que también podrían utilizarse los valores yi.

Para ello, si integramos y0(x) = f(x; y(x)) en el intervalo [xi; xi+1], se tiene: Z xi+1 xi y0(x) dx = Z xi+1 xi f(x; y(x)).

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. 

Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

Ecuación diferencial ordinaria (EDO)

Una EDO es una ecuación en qué las incógnitas son una o varias funciones que dependen de una variable independiente. Además, para evaluar la ecuación en un punto sólo nos hace falta conocer el valor de las funciones incógnitas y sus derivadas en ese punto. Otro tipo de ecuaciones no se llamarán ordinarias.

El orden de una EDO es el orden de la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación.

APLICACIONES

Modelo De Crecimiento Exponencial

Este modelo es quizá una de las aplicaciones en las que mas se usan las ecuaciones diferenciales.

Antes que nada consideremos al crecimiento exponencial como una expresión que se aplica a una magnitud tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que tiene un crecimiento rápido de acuerdo a un tiempo "t".

El modelo exponencial es un modelo demográfico y ecológico para modelizar el crecimiento de las poblaciones y la difusión epidémica de un rasgo entre una población. Este modelo se basa en la expresión del crecimiento exponencial.

Definición: Sea P(t) el tamaño de la población al tiempo t, el modelo exponencial presupone que la tasa de aumento de la población es proporcional a la población en el instante:

Donde k es una constante de proporcionalidad y P(t) es el tamaño de una población en el instante "t" (tiempo).

Esa ecuación puede resultar adecuada cuando el tamaño de la población es pequeño en relación a las dimensiones del ecosistema, y en ese caso "k" es la tasa de aumento de la población que iguala a la tasa de natalidad menos la tasa de mortalidad.

Al mismo tiempo que podemos observar que esto presenta la forma de una ecuación diferencial ordinaria. Por lo que si resolvemos esta ecuación obtendremos lo siguiente.

La solución que se muestra es lo que denominamos el modelo de crecimiento exponencial, esta solución predice que en cualquier otro instante futuro | t > t0, la población estará dada por la solución de la ecuación diferencial que se muestra anteriormente.

Reflexión

En esta sección se pude resumir y aplicar prácticamente todo lo que se ha visto hasta la mitad de este curso, no cabe duda que hasta el detalle mas pequeño de las matemáticas tiene alguna aplicación en esta vida, a veces no nos centramos en cosas que puedan ocurrir pero en la vida profesional nos enfrentaremos a problemas de este tipo por lo que se debe estar preparado para detectar de una forma lógica y con validez matemática para tener resultados concretos sobre lo que queremos conocer.